wiisメモ（命題論理～数直線の位相）
wiis.info という数学サイトで学んでいる。せっかくなので、学んだことをアウトプットしていく
（ちなみにwiisでは、ユーザー名以外の任意の名前入力欄に入力があると、記事にコメントした時にユーザー名よりその入力された名前が優先して表示されることもあるようなので注意）
命題論理
- $\lor$や$\land$の括弧は、プログラミングなら省略できることもあるが、命題論理では省略できない
- 排他的論理和($P \veebar Q$)はプログラミングでいうxorと同じ
- $P \to Q$と$\lnot P \lor Q$は同じ
- $P \leftrightarrow Q$は、PとQがどちらも真のときと、どちらも偽のときに真になる
- 「命題論理における論理式の解釈」で嘘つきの論理的解決の演習ができる
- $ \bigwedge\limits_{i=1}^n A_i = A_1 \land \dots \land A_n $
- $ \bigvee\limits_{i=1}^n A_i = A_1 \lor \dots \lor A_n $
- $A \land (B \lor C) \Leftrightarrow (A \land B) \lor (A \land C)$と
- $A \lor (B \land C) \Leftrightarrow (A \lor B) \land (A \lor C)$は成り立つ
- $A \land (B \veebar C) \Leftrightarrow (A \land B) \veebar (A \land C)$ は成り立つが
- $A \veebar (B \land C) \Leftrightarrow (A \veebar B) \land (A \veebar C)$ は成り立たない
- 同じ命題が隣り合って違う論理記号でつながっていればぷよぷよのように吸収律で消していける？※
- 「命題論理における一様代入の法則 > 一様代入の法則に関する注意点」一部だけ論理式を置き換えても成立？なぜ？
- 双対(dual)とは、論理式の上下TF？※をすべて入れ替えたもの、ここから双対原理(principle of duality)が導かれる
- $A \to B, \lnot B \therefore \lnot A$は、AならばBとBの否定がともに真のとき、Aの否定が真であるという推論
- ↑が正しければ $A \to B, \lnot B \models \lnot A$ と書き、妥当である（valid）という
- 含意除去（implication elimination）, 含意導入（implication introduction）
- 推論(inference)はあくまで、前提(proposition)が成り立てば結論(conclusion)が成り立つ、という実験にすぎないので、推論が妥当であるからといって正しいとは限らず、推論への反例が見つかれば、前提のどれかに誤りがあることを発見するツールである
- 連言除去（conjunction elimination）は$\land$除去($A \land B \models A$)
- 連言導入（conjunction introduction）は $\land$導入($A,B \models A \land B$)
- 選言除去（disjunction elimination）は$\lor$除去($A \to C, B \to C, A \lor B \models C$)
- 選言導入（disjunction introduction）は$\lor$導入($A \models A \lor B$)
- 後件否定（denying the consequent）は、$A \to B, \lnot B \models \lnot A$
- 選言三段論法（disjunctive syllogism）は、$A \lor B, \lnot A \models B$
- 仮言三段論法（hypothetical syllogism）は、$A \to B, B \to C \models A \to C$ （こっちのほうがいわゆる三段論法のイメージに近い）
- 構成的ジレンマ（constructive dilemma）は、$A \to B, C \to D, A \lor C \models B \lor D$
- 破壊的ジレンマ（destructive dilemma）は、$A \to B, C \to D, \lnot A \lor \lnot C \models \lnot B \lor \lnot D$
集合
- AがBの部分集合(subset)であるとは、「Aの要素はすべてBの要素でもある」と定義できる。つまり： $\forall x \in A : x \in B$
- 共通部分(intersection) $A \cap B$
- 和集合(union) $A \cup B$
- 差集合(difference) $A \setminus B$
- 対称差（symmetric difference）$A \triangle B$ ≒ xorみたいなもの
- 集合の双対(dual)とは、$\cap$と$\cup$, $U$と$\phi$を入れ替えたもの
- 集合族（family of sets）は表示するときはフラクトゥール(\mathfrak) $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{C}, \dots$ で書かれることが多い
- $\Lambda$によって添字付けられた集合族（family of sets indexed by $\Lambda$）を使うことで、無限集合かつ順番に数えられない実数に関連した集合族も扱える
- AとBの直積$A \times B$はカルテシアン積（Cartesian product）ともいう
- 順序対(ordered pair)の一般化、組(tuple)は、quintuple, sextupleの後半部分が由来
- 選択関数が存在することが選択公理が成り立つことと必要十分である
- 対称律（symmetric law）は$R(x,y) \Rightarrow R(y,x)$であること、反対称律（antisymmetric law）は$R(x,y) \land R(y,x) \Rightarrow x = y$であること
- 半順序（partial order）とは、反射律、反対称律、推移律を満たすこと
- 全順序（total order）とは、半順序＋完備律
写像
- 単射（injection）で成り立つこと:
- $f(X^{c}) \subset f(X)^{c}$
- $f(X_1 \cap X_2) \subset f(X_1) \cap f(X_2)$
- $f(A_1) \setminus f(A_2) \subset f(A_1 \setminus A_2)$
- 全射（surjection）、全単射（bijection）
- AからBへの単射とBからAへの単射がともに存在する場合には、AからBへの全単射が存在する → シュレーダー=ベルンシュタインの定理（Schröder-Bernstein’s theorem）
関係
- 完備律（complete law）や狭義の連結律（strictly connected law）：$\forall x, y \in A: [R(x,y) \lor R(y,x)]$
- ↑の例: 大小関係 ($x \leq y \lor y \leq x$)
- 完全律（total law）や広義の連結律（weakly connected law）: $\forall x, y \in A: [R(x,y) \lor R(y,x) \lor x = y]$
- 三分律（law of trichotomy）: 完全律の要件の3つのうち、常に1つだけが成立すること
- 三分律の例： $R(x,y) \Leftrightarrow x \lt y$.
- なぜならば $x \lt y, y \lt x, x = y$のどれかが常に1つだけ成立する
- 反射律・対称律・推移律を総称して同値律（equivalence law）と呼び、すべて満たすと同値(equivalent)
- $x \sim y \Leftrightarrow R(x, y) \Leftrightarrow (x, y) \in R$
- 同値関係の下で、xと同値であるようなAのすべての要素からなる集合: $$[x] = \{y \in A \mid x \sim y\}$$
- ↑をxを代表元（representative）とする同値類（equivalence class）。（例：mod、偶奇、相似など）
- 3つの集合をつなぐ合成関係（composition relation）$S \circ R$
- 恒等関係（identity relation） $\Delta_A = \{ (x,y) \in A \times A \mid x = y\} $
- AのRによる商集合（quotient set） $A\setminus R=\{[x] \mid x \in A\}$ それぞれの要素を代表元とする同値類からなる集合族（集合族なので差集合とは同じ$\setminus$を使っているが、異なる）
集合の濃度
- AからBへの全単射があるとき、AとBは等しい濃度（same cardinality）を持つといい、次のように表す $|A| = |B|$
- シュレーダー＝ベルンシュタインの定理と組み合わせて、「AからBへの単射と、BからAへの単射が存在すれば、$|A|=|B|$」と言える
- 同様に、選択公理を認めれば、↑の「単射」を「全射」に置き換えても同様のことが言える
- さらに、AからBへの全単射の存在が言えなくても、AからBへの単射と全射がそれぞれ存在すれば全単射の存在が保証されるので、↑と同様のことが言える
- 加えて、部分集合に対する全単射が相互にあれば同じことが言える
- AからBへの単射があれば、Aの濃度はBと同じかそれ以下。逆に、BからAへの全射があることや、AからBの部分集合への全単射の存在でも同様に、$|A| \leq |B|$.
- $2^{U} \setminus = \ = \{[A] \mid A \in 2^{U}\}$ ... Uのべき集合の$=$による商集合は、濃度の等しさによって分割されている
- 集合の濃度の大小関係$\leq$を$\mathfrak{A}$上の二項関係とみなしたとき、反射律、反対称律、推移律、完備律を満たすので、$\leq$は全順序関係
- 有限集合の濃度は個数と一致し、$|A|, \#A, card A$のように書く
- 包除原理（inclusion-exclusion principle）:互いに素とは限らない2つの有限集合の和集合の濃度は $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
- 天井関数（ceiling function）： $\lceil x \rceil$. x 以上の最小の整数、xの切り上げ
- 空でない集合Aからその真部分集合Bへの全単射があれば、Aは無限集合
$|\mathbb{N}| \neq |(0,1)|$ である証明: カントールの対角線論法（Cantor’s diagonal argument）
- 自然数と対応した無限小数すべてを列挙し、小数点以下の各桁ごとに添え字付きのアルファベットを振る $0.a_{nm}\dots$
- これらの中に含まれない無限小数の存在が言えれば全単射ではない→濃度が一致しないとなる
- 各桁の対角線($a_{nn}$)に注目して、小数点以下n桁目が0だったら1、0以外だったら0とした無限小数 $b_{n}$ を定義すると、これは一覧に含まれない
- なぜなら、仮にf(1)の1桁目が0だったら1、0以外だったら0とすることでf(1)とは異なり、f(2)も2桁目が0だったら1、0以外だったら0とすることで、f(2)とも異なり…ということを、1つの数で無限桁についてこのリストのどれとも一致しないことがわかる。どれかと一致しているはずだろうと思ってもN側はR側と一致する無限小数を提示することができない
- つまり、$|\mathbb{N}| \neq |(0,1)|$
$\aleph_0 = |\mathbb{N}|$. これは可算濃度（countable potency）または可付番濃度（enumerable potency）と呼ぶ
- 有限集合と可算集合の総称として高々可算集合（at most countable set）ともいう
- 高々加算集合が有限個集まっても高々加算集合なのはもちろんのこと、「可算個の可算集合の和集合は可算集合」「高々可算個の高々可算集合の和集合は高々可算集合」
- $\mathbb{R}$と等しい濃度を持つ非可算集合を連続体（continuum）と呼ぶ
- 非加算集合のさらに上の濃度として、べき集合がある。 $|A| < |2^{ A }|$. カントールの定理（Cantor’s Theorem）。
- 何重にもべき集合を考えることで、いくらでも高い濃度の集合を考えることができる
- 連続体仮説（continuum hypothesis）: $|\mathbb{N}|<|A|<|\mathbb{R}|$ を満たすAは存在しない
- $|2^{\mathbb{N}}|=|\mathbb{R}|$ なので、これは反例にできない
- なので連続体仮説は $|\mathbb{N}|<|A|<|2^{\mathbb{N}|}$ と言い換えることもできるが、どちらにしても未解決問題
順序集合
- 集合全体のべき集合$2^{U}$上で定義されて包含関係$\subset$は半順序である（∵反射律、反対称律、推移律を満たす）
- m が n の倍数のとき、整除関係 n | m を定めると、整除関係 $|$ は $\mathbb{N}$ 上の半順序である
- 非対称律と推移律を満たす場合は狭義半順序（strict partial order）
- 非対称律 $\Leftrightarrow$ 非反射律+反対称律
- 狭義半順序の例：$<$, $\subsetneq$
- 全順序になることで、任意の2要素が比較可能になる
- 狭義全順序（strict total order） = 狭義半順序+三分律
- 有向グラフ$D$は、頂点$V(D)$、弧 $A(D)$、弧と頂点を対応付ける写像$\psi_D:A(D) \to V(D) \times V(D)$によって構成される
- 有向グラフから、反射律、推移律から明らかな情報を省略し、大小関係をグラフ上の上下で表して矢印を省略したものをハッセ図（Hasse diagram）という
- 極大元（maximal element）や極小元（minimal element）は、最大・最小と異なり複数ありうる（例：整除関係で、割り切れる最大より上はすべて極大元、最小より下はすべて極小元）
- 完備律を満たす場合は極大と最大は同じ概念になる
- 全順序集合でかつ、任意の始部（initial part）が直後の要素（successor）を1つずつ持っている場合、整列集合（well-ordered set）という
- 超限帰納法の原理（principle of transfinite induction）は、それ以下の要素がすべて元集合に含まれるならA=B
実数
実数の定義
- 実数を無限小数として定義することができるが、そうするとあらゆる議論が無限小数の各種概念をケアしながらのものになり、得られた結論も無限小数についての結論になって不便なため、公理を採用するのが一般的
- 加法に関して、結合律を満たすと半群（semigroup）
- 半群+単位元（identity element）＝モノイド（monoid）
- モノイド+逆元（inverse element）＝群（group）
- 群+交換律（commutative law）=可換群（commutative group）またはアーベル群（abelian group）
- 減法については、上記4点から間接的に定義
- 乗法については、上記4点とほぼ同じだが、単位元が0ではなく1に、逆元は0の時は別途定義するという違いがある
- 簡約法則（cancellation law）、分配律（distributive law）
- 加法4点、乗法4点と分配律の計9点を定めると、体（field）と呼ぶ。実数上については特に実数体（real number field）と呼ぶ（$(\mathbb{R},+,\cdot )$）
- また、大小関係（magnitude relation）として、反射律、反対称律、推移律（ここまでの3つで半順序）、完備律（ここまでの4つで全順序）も定める
- さらに、非反射律、推移律、三分律を認めれば、狭義全順序となる
- これに、加法律（addition law）$\forall x,y,z \in \mathbb{R}:(x \leq y \Rightarrow x+z \leq y+z)$と乗法律（multiplication law） $\forall x,y \in \mathbb{R}: [(0 \leq x \land 0 \leq y) \Rightarrow 0 \leq x \cdot y]$ を認めれば、実数の全順序体（totally ordered field of real numbers）となる
- デデキント切断（Dedekind cut）$\langle A, B \rangle$は、$\mathbb{Q}$をどこかで部分集合$A$と$B$に分割することで、その分割点には無理数がただ1つ存在する
- なぜならば、無理数が2つ以上あると仮定すると、近傍2つの有理数の平均もまた有理数であることから、これを導く動作を無限に繰り返すと、2つの無理数の間に有理数があることになり、切断の定義に矛盾する
- また、実数で切断すると、切断面は上か下のどちらかに必ず所属する。実数の連続性。
- 連続性＝デデキントの公理 $\Leftrightarrow$ 上限性質（supremum property）$\Leftrightarrow$ 下限性質（infimum property）
- 帰納的集合（inductive set）:
$$\displaylines{
\begin{align}
&\text{(a) }1 \in A \\
&\text{(b) }\forall x \in \mathbb{R} : (x \in A \Rightarrow x + 1 \in A) \end{align} }$$ - ↑から自然数を定義すると、0を含まない正の整数の集合になる
- 一般に数学的帰納法と呼ばれるものは、弱数学的帰納法の原理（the principle of weak mathematical induction）とよび、それと対比する形で完全帰納法の原理（the principle of complete induction）が存在する
- 弱いほうは $k$ と $k+1$ が立証されればOKだったが、強いほうでは $k$ 以下のすべての自然数 $n$ と $k+1$ について立証しなければならない
- 強い数学的帰納法による証明の例：2以上の自然数はすべて素数の積で表せることの証明
- xが0ならその絶対値（absolute value）も0であることを、非退化性（non-degeneracy）という
- また、 $x=y$ ならその差の絶対値が $0$ であることは、不可識別者同一性（identity of indiscernibles）といい、↑と必要十分
- $|x| =|-x|$のことを、絶対値の偶性（evenness）という
- $|x+y| \leq |x|+|y|$のことを、劣加法性（subadditivity）という
- $|x-z|\leq|x-y|-|y-z|$を三角不等式（triangle inequality）といい、↑と必要十分
- 逆向きの三角不等式（reverse triangle inequality）$||x|-|y|| \leq |x \pm y|$は劣加法性から導かれる
- 拡大実数系（extended real number system）$\overline{\mathbb{R}}$とは、実数全体に正負の無限を追加したもの
- 拡大実数系において、正の無限大と負の無限大の和や商などは定義不可能であり、このようなものを不定形（indeterminate forms）という
- ワイズにおいては、$0^{0}$、無限の実数累乗、実数の無限累乗も不定形として扱う
- 拡大実数系において、無限大を上界とみなすことができる
数列（sequence of number）
- 有限個の数の並びは数列とは扱わない。無限個のみ
- 項（term）、一般項（general term）、再帰式（recursion formula）、漸化式（recurrence relation）、級数（series）、等差数列（arithmetic progression）、公差（common difference）、等比数列（geometric progression）、公比（common ratio）、収束する（converge）、極限（limit）、発散する（diverge）、振動する（oscillating）、定数数列（constant sequence）、最終的に一定となる数列（eventually constant sequence）
- $\varepsilon - N$論法（$\varepsilon - N$ definition of limit）
$$ \forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb{ N }, \forall n \in \mathbb{ N }: (n > N \Rightarrow |x_n - a| \lt \varepsilon) $$
- 最終的に一定となる数列 $\Leftrightarrow \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}:(x_{ N+n } = x_N)$
- 収束する数列同士の和 $\lim (x_{n} + y_{n}) = \lim x_{n} + \lim y_{n}$
- 四則演算、平方根、絶対値、はlimの中と外を交換できる
- 絶対値の極限が0に収束する場合は、絶対値記号を外したものも0に収束する（収束しない場合ももう片方も収束しないことも言える）
- ↑を使って、$ \{ x_n \}$が$a$に収束することと、 $\{|x_n-a|\}$が$0$に収束することは必要十分なので、こっちを代わりに示してもいい
- 比較定理（comparison theorem）：2つの数列の任意の項で<=で、ともに有限の実数に収束する場合、その収束先も<=の関係が成り立つ
- はさみうちの定理（squeeze theorem）：x,y,zの3つの数列の任意の項で $x\leq y\leq z$ で、xとzが同じ値に収束するとき、yも同じ値に収束する
- 絶対値定理（absolutevalue theorem）：はさみうちの定理を使って、$-|x| \leq x \leq |x|$ のうち絶対値のほうが0に収束すれば、xも0に収束すること
- ダランベールの判定法（D’Alembert’s ratio test）：数列の隣接項の比が1未満に収束する場合、元の数列は0に収束し、比が1以上なら無限大に発散する
- 単調増加数列（monotonically increasing sequence）と単調減少数列（monotonically decreasing sequence）を合わせて単調数列（monotone sequence）と呼ぶ
- 定数の場合は単調増加かつ単調減少
- $\leq$ではなく$\lt$の場合は、狭義単調増加数列（strictly monotonically increasing sequence）
- これを判定する場合、隣り合う2項を比較してもいいし、任意の2項を比較してもよい
- 区間列（sequence of interval）とは、$I_n=(-n,n)$なら、以下のようなもの
$$\displaylines{
I_1=(-1,1) \\
I_2=(-2,2) \\
I_3=(-3,3) }$$ - 有界な閉区間で単調減少であり、0に収束する場合、入れ子構造の閉区間列（nested sequence of closed intervals）と呼ぶと、そのような区間列はただ1つの実数を共通部分に持つ：カントールの縮小区間定理（Cantor’s nested interval theorem）
- 部分列（subsequence）は、数列から条件付きで無限個の要素を抜き出したもの（偶数のみ、など）
- 部分列は、添え字と中身を取り出す2つの写像の合成写像とみなせる $(n\to l(n)\to x_{l(n)})$
- 部分列が収束すれば元の数列も同じ値に収束する（逆も真）。
- 収束しない数列は、収束する場合としない場合がある（振動する場合で振動の定数部分だけを拾った場合などは収束する）
- 収束しなくても、有界でさえあれば、収束する部分列が必ずある：ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理（Bolzano-Weierstrauss theorem）
- 実数の連続性とボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理は必要十分
- 数列のある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくなるとき、この数列をコーシー列（Cauchy sequence）や基本列（fundamental sequence）という
- 振動する場合は有界だがコーシー列ではない
- コーシー列の部分列が1つでも収束するなら、元のコーシー列も収束する
- 有界なら収束する部分列を持つ（ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理）→任意のコーシー列は収束する部分列を持つ（有界なので）→任意のコーシー列は収束する（↑より）。つまり結局任意のコーシー列は収束する。
- 数列が収束することとコーシー列であることは必要十分
- 連続性の公理は8つの命題のどれを採用してもよい
- 調和数列（harmonic progression）は、等差数列の逆数
- 数列 $x_n = (1 + {1 / n})^{n}$ の極限をネイピア数（Napier’s constant）やオイラーの数（Euler’s number）、または自然対数の底（base of natural logarithm）などと呼ぶ
- ネイピア数はマクローリン展開すると$1+1+{1/2}+{1/3!}+{1/4!} \dots$となる
数直線の位相
- $\varepsilon$近傍は、有界開区間と実質的に等しい概念で、$N_{\varepsilon}(A)$のように書く
- 開集合系（system of open sets）$\mathcal{O}$は、$\mathbb{R}$上の開集合をすべて集めてできる集合族（$\mathbb{R}, \phi$も含む）
- 有界半開区間は閉集合でも開集合でもない
- $\mathbb{R}, \phi$は開集合かつ閉集合
- 内部（interior）開核（open kernel）の表現方法 $A^{i}, A^{\circ}, \mathrm{int}(A)$など
- 開集合なら、その集合とその内部は一致する（逆も真）
- 外部（exterior）の表現方法 $A^{e}, \mathrm{ext}(A)$
- 境界（frontier）の表現方法 $A^{f}, \partial A$
- 内部、外部、境界点の3つに分割できることは、集合論の三分律となにか関係ある？
- 閉集合の判定方法（どれでもよい）
- $A^{c} \subset A^{e}$
- $A^{f} \subset A$
- $A^{a} \subset A$
- $A^{d} \subset A$
- 触点（adherent point）の集まりである 閉包（closure）の表現方法 $A^{a}, \mathrm{cl}(A)$
- Aの中の点を項とする、aに収束する数列が存在する場合、aは触点
- 集積点（accumulation point）or 極限点（limit point）：aの近傍にいくらでも近い場所にあるa以外の点＝触点
- 導集合（derived set）：すべての集積点からなる集合 $A^{d}$
- 集積点は触点と近いが、自分自身がAの要素でなくてもよい
- 集積点の存在は、実数の連続性の9番目の言い換え可能な命題でもある
- Aの孤立点（isolated point）からなる集合は$A \setminus A^{d}$
- Aの閉包は、Aの孤立点全体とAの導集合に分割できる
- 被覆（covering）、有限被覆（finite covering）、可算被覆（countable covering）、有限被覆に落とせる（reducible to a finite cover）
- 開被覆Aに、有限部分被覆が必ずあればAはコンパクト（有限個の開集合でAを覆える）
- 集積点と有界の違いが判らない？※
- ε近傍は$N_{ε}(a)$のようにかかれたが、例（点の閉近傍はコンパクト集合）では$C_{ε}(a)$のように書かれている、これは閉近傍のClosedのCと思われる
- ハイネ・ボレルの被覆定理（Heine-Borel’s covering theorem）：実数全体の部分集合がコンパクト集合であることと、その集合が有界な閉集合であることが必要十分である
- 点列コンパクト集合（sequentially compact set）：任意の数列がAの点に収束する
- $N^{*}(A)$ 基本近傍系（fundamental system of neighborhoods）or 近傍基底（local base）or 近傍基（base of neighborhoods）：ε近傍の部分集合族
- 第1可算公理（first axiom of countability）とは、その体のどんな要素を選んでも加算個の要素を持つ基本近傍系が1つでもあること（$\mathbb{R}$なら1/nなど）※？
- 縮小基本近傍系（nested fundamental system of neighborhoods）or 縮小近傍基底（nested local base）or 縮小近傍基（nested base of neighborhoods）：$N^{1}(a) \supset N^{2}(a) \supset N^{3}(a) \supset \dots$
- 基本開集合系（fundamental system of open sets）：$\mathcal{O}$の部分集合$\mathcal{B}$の部分集合$\mathcal{B'}$の和集合で$A$を覆える
- 第2可算公理（second axiom of countability）：↑の$\mathcal{B}$が加算集合でもあるものが存在する場合
- $\mathbb{R}$は第2加算公理を満たす
- 全単射を導いて濃度の同等性を示す（加算集合である）というやりかた
- 第2可算公理を満たすなら第1可算公理も満たす？
- コンパクト集合なら、有限部分被覆の存在が確定するが、一方第2加算公理を使うと、加算（有限ではなく）部分被覆の存在が確定する：リンデレーフの被覆定理（Lindelöf’s covering theorem）
- $A \subset X$を満たすAを任意に選んだ時、同時に$A \subset X \subset A^{a}$が成り立つとき、AはXの稠密部分集合（dense subset）という
- ↑の例：$\mathbb{R}$に対する有理数全体$\mathbb{Q}$や無理数全体$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$など
- $\mathcal{N}$ は $\mathbb{R}$ の近傍系として使われることが多く、すべての点のすべての近傍の集合を意味する
- 加算集合であるような稠密部分集合を持つ場合、その集合は可分空間（separable space）という。例：$\mathbb{R}$に対する有理数全体$\mathbb{Q}$
- 可分空間であれば、要素として加算個しかない部分集合でも、極限が非加算個の点に到達できるので、議論を加算個の集合に落とせるメリットがある
- 切断（disconnection）を考える。有理数と無理数に分けるのは切断ではない。なぜなら、どちらも閉包が実数全体になってしまって分離の条件を満たさないため
- 分離しているというのは数直線上で左と右にグループが接触せずに分かれていることだけでなく、開集合同士の和集合 (1,2),(2,3),(3,4)の真ん中だけ別の集合でも切断といえる
- 開集合というのは、単に()で囲まれたというより、どんな近くにも自身の部分集合があることが大事、だから有理数$\mathbb{Q}$も無理数$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$も開集合ではない
- 区間であれば連結集合、区間でなければ非連結集合
- まだよくわかってないので、トポロジーの部分は要復習
mathjax
- hatenaでmathjaxを使う場合で、{を表示させたい場合、
\\{\\}のようにバックスラッシュを2重に書く必要がある(#も同様)
$$ $$
